财富杂志发布了年美国强公司排行榜，其中苹果公司营收亿美元，利润却达到亿美元之巨，成为榜单中利润第一名。尽管其在智能手机市场中的份额占比仅有13%左右，但它却拿走了全部市场的60%利润，剩下所有的手机公司只能瓜分剩下的40%，为什么在经济系统中会出现强者恒强，弱者愈弱的现象？社会中会出现了富者越富，穷者越穷的现象呢？按照马克思的理论解释，可能是因为资本主义的缺陷造成的。其实背后隐藏着一个巨大的数学定律“幂次法则”。
PeterThiel《从0到1》一书中写到：“幂次法则是宇宙的力量，是宇宙最强大的力量。它完整定义了我们周围的环境，而我们几乎毫无察觉。”
《新约.马太福音》一书中提到：“凡是少的，就连他所有的，也要夺过来。凡是多的，还要给他，叫他多多益善。”这就是著名的马太效应。
概率论给我们的启示是：“凡是相信大数定律的，凡是相信热力学第一定律的，就不要去赌博，不要去炒股，不要去买彩票，不要去进行任何投机，而应该去开赌场。”
可见幂律对社会和经济的影响极大，那什么是幂律分布？幂律分布的原因是什么？幂律分布有哪些应用？本文对以上问题进行探讨。
一、什么是幂律分布？
在统计学中，幂律powerlaw表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的幂次方。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。
幂函数：y=x^a（a为有理数）
指数函数：y=a^x（a为常数且以a0，a≠1）
幂律分布：是一种概率分布，假设变量x服从参数为α的幂律分布，则其概率密度函数可以表示为：概率密度函数为f(x)=cx^-a-1(x→∞）
幂律分布也有很多其他的形式，例如“长尾”分布也是幂律分布的一种。
在幂律分布中，事件发生的概率与事件大小的某个负指数成比例。也就是事件越大，发生的可能性越小。因此，在幂律分布中，小事件的数量要比大事件要多得多。大事件的可能性将幂律分布与正态分布区分开来，因为在正态分布中，我们实际上从未见过大事件，而在幂律分布中，大事件虽然也很少见，但是它们发生的频率足以引起注意和准备。即使是百万分之一的事件也必须加以考虑。
例如：地震大小的分布接近于指数大约为2的幂律。如果发生了震级大于里氏9.0级的地震，不但建筑物会被夷为平地，整个地形地貌都会变得面目全非。这是一个发生的可能性只有百万分之一的大事件，在一个世纪的时间中，这种规模的地震发生的概率为3.5%。
自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象。地震规模大小的分布（古登堡—里希特定律）、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布、太阳耀斑强度的分布、计算机文件大小的分布、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布、大多数国家姓氏的分布、学者撰写的论文数及其被引用的次数的分布、自媒体被